Понятия от теорията на вероятностите
Случайно събитие.
Опит се нарича осъществяването на съвкупност от условия.
Например: случайно класиране в Google, повреда на хард диск на уеб сървър, хвърляне на зар.
Явлението, което се случва при осъществяването на един опит, т.е. резултатът от опита, се нарича събитие.
Например: класиране на уеб сайт в търсачките, откриване на дадена цел за определено време, хвърляне на 6-ца на зара.
При извършване на един опит са възможни следните три случая:
При многократно повторение на един опит дадено събитие винаги се сбъдва. Такова събитие се нарича сигурно събитие.
Пример: От партида дефектни изделия се отделя едно изделие.
При многократно повторение на един опит дадено събитие никога не се сбъдва. Такова събитие се нарича невъзможно събитие.
Пример: Получаване на две попадения при едно и същи шансове на компютъра и сървъра на търсачката.
При многократно повторение на един опит дадено събитие може да се сбъдне, но може и да не се сбъдне. Такова събитие се нарича случайно събитие.
Пример: Откриване на вражеска цел за точно определено време.
Две събития се наричат несъвместими, ако при всеки опит е невъзможно едновременното им сбъдване.
Ако събитието А се състои в сбъдването поне на едно от две по две несъвместимите събития А1, А2, … Аn, те образуват пълна група събития и се наричат частни случаи на събитието А.
Вероятност на събитие А е числената мярка на възможността това събитие да се случи и се отбелязва с Р(А).
Пресмятане на вероятност на събитие
Класически подход
Нека събитията А1, А2, … Аn образуват пълна група равновъзможни събития, или частни случаи.
Ако сбъдването на събитието А е еквивалентно на осъществяването на m от n случая, то вероятността на събитието А може да се изчисли чрез отношението на броя на благоприятните кьм броя на всички възможни случаи:
Р(А) = m/n
Тази формула се нарича класическа формула за изчисляване на вероятността.
Пример: В партида от 12 изделия има 5 дефектни. За проверка се избират 2 изделия. Каква е вероятността и двете изделия да са дефектни.
Означава се с А събитието – двете изделия са дефектни.
Изчислява се по формулата Р(А) = m/n.
Общият брой на двойките изделия е n = C12 2
Броят на двойките дефектни изделия е m = C5 2
Следователно Р(А) = C5 2 / C12 2 = 5/33 = 0.15 или 15 %.
Статистически подход
За изчисляване вероятността на събитията, които не са от типа на частните случаи, се използват други методи.
Нека е произведена серия от N опита, при която събитието А се е сбъднало М пъти. Честота на събитието А в дадена серия от N опита се нарича отношението на броя на опитите, при които се е осъществило събитието А, към общия брой проведени опити.
Честотата на събитието А се нарича статистическа вероятност.
P*(A) = M / N;
Пример: За даден период от време разузнаването е разкрило 310 самолета, 31 от които – на височина 2000 м. Да се определи честотата на появяване на самолети в зоната до 2000 м.
А е събитието, че е открит самолет в зоната до 2000 м.
P*(A) = 31 / 310 = 0.1, или 10%.
Случайна величина.
Величина, която в зависимост от резултатите при опита приема една, или друга числена стойност, се нарича случайна величина. Съгласно това определение, случайната величина не представлява едно число, а множество от числа. Елементите от това множество се отбелязват със същата буква, но с индекс.
X = {x1, x2, … xi, … xn}
На случайното събитие Аi (величината X да приеме стойност хi) се съпоставя числото хi, i = 1, 2, … n.
В зависимост от това, какви стойности приемат случайните величини, те се разделят на дискретни (прекъснати) и непрекъснати.
Дискретни (прекъснати) са случайните величини, които приемат отделни числени стойности, които са изброими.
Непрекъснати са случайните величини, които могат да приемат всяка стойност, принадлежаща на даден интервал.
При изучаване на случайна величина от съществено значение е да се даде пълна характеристика на тази величина. Това означава да се определят стойностите, които тя може да приеме и вероятностите, с които тя приема своите възможни стойности.
Основни характеристики на случайната величина
Нека Х е дискретна случайна величина, която може да приема стойности
хi, i = 1, 2,…n и
рi, i = 1, 2,…n са вероятностите, с които тя приема своите стойности.
Зависимостта, която дава връзката между възможните стойности, които може да приеме една случайна величина и съответните им вероятности, се нарича закон на разпределение на вероятностите на случайната величина, или накратко закон на разпределение на случайната величина.
Закон на разпределение на дискретна случайна величина pi = P( X= xi), задава се таблично:
Ако приеманите от случайната величина стойности хi, i = 1, 2, … n, се асоциират със събития Аi, i = 1, 2, … n, те образуват пълна група събития и следователно е изпълнено
∑ рi = 1, i = 1, 2,…n.
Законът на разпределение на дискретна случайна величина pi = P( X= xi) може да се зададе и графично. По оста x се нанасят стойностите на X, а по оста Y – съответните им вероятности.
Начупената линия, която съединява точките Mi (xi, pi) се нарича многоъгълник на разпределението.
Дискретната случайна величина може да бъде описана и с вероятността произволна нейна стойност да принадлежи на интервала (-œ, х ), където x е фиксирана стойност.
Този закон се нарича интегрален закон на разпределение на случайна величина.
Съгласно определението:
F(x) = P( X < x ) = ∑ pi , xi < x
F(x) = P( X=x1 + X=x2 … + X=xк) = ∑ Р(X=xi)
Графиката на функцията F(x) има стъпаловиден характер.
Нека X да е непрекъсната случайна величина. Ако с P(x <= X < x+Dx) означим вероятността непрекъснатата случайна величина X да приема стойности в интервала [x, x+Dx], то за характеристика на X се приема функцията
f(x) = lim P(x<= X <x+Dx)/Dx, при Dx ®0
Тази функция се нарича плътност на разпределение на непрекъснатата случайна величина или диференциален закон на разпределение.
Графиката на функцията f(x) се нарича крива на разпределението на X и съгласно определението f(x) >= 0.
Вероятността непрекъсната случайна величина X да попадне в елементарния интервал [x, x+Dx], при Dx ®0 е f(x)Dx и се нарича елементарна вероятност. Предвид, че Dx=dx, следва че може да се запише f(x)dx. Геометричната интерпретация на елементарната вероятност представлява лицето на правоъгълник с основа Dx и височина f(x).
Задачи на математическата статистика
Практическото приложение на теорията на вероятностите е свързано с извършването на серии експерименти и обработката на получените експериментални данни с цел установяване на устойчиви закономерности по отношение на изследваните величини. Прилагат се методи за определяне на числените характеристики и функциите на разпределение на вероятностите на случайните величини посредством получените опитни данни. Тези въпроси са предмет на математическата статистика – науката, която предоставя методите за събиране, анализ и обработка на опини данни, с цел изучаване на количествените закономерности на масовите случайни явления.
Задачите на математическата статистика са свързани с решаване на проблемите за обработка на наблюденията, направени върху масовите случайни явления. Типичните задачи на математическата статистика са следните:
- Определяне функцията на разпределението на вероятностите на случайна величина по статистически данни. При n независими опита върху случайната величина Х са получени стойностите х1,х2,…хi,…xn. Търси се функцията на разпределението F(x) на случайната величина Х.
- Определяне неизвестните параметри на функцията на разпределението на вероятностите. Случайната величина Х има определена функция на разпределение на вероятностите, която зависи от к параметъра. На базата на опитните данни трябва да се определят тези параметри.
- Статистическа проверка на хипотезите. Въз основа на теоретични съображения предполагаме, че функцията на разпределение на случайната величина Х има вида F(x). Прави се проверка дали тази хипотеза съответства на опитните данни.
Примерни задачи
1. Да се построи статистическата функция на разпределението F*(x) на случайната величина X – грешката при измерване на разстоянието до дадена цел с радиодалекомер.
Честотата на събитието X<x за даден статистически материал се нарича статистическа функция на разпределението F*(x) на случайната величина X и се отбелязва с
F*(x) = Р*( X<x).
Решение:
Най-малката наблюдавана стойност е -15, следва
F*(-15) = Р*( X< -15) = 0;
F*(-12) = Р*( X< -12) = 1/20;
F*(-10) = Р*( X< -10) = 2/20 и т.н.
…
F*(18) = Р*( X< 18) = 17/20;
F*(20) = Р*( X< 20) = 18/20;
F*(21) = Р*( X< 21) = 1.
Очевидно графиката на F*(x) е стъпаловидна функция.
2. Определяне на статистически ред на случайна величина (горния пример).
Проведени са n независими опита, които образуват проста статистическа съвкупност (първичната форма на записване на статистическия материал). Интервалът на получените стойности на Х може да се раздели на подинтервали и да се определи броя на стойностите в i–тия подинтервал. За всеки подинтервал се определя честотата на наблюдаваните стойности по формулата:
рi * = mi / n
∑ рi = 1, за всеки подинтервал i = 1, 2, … k
3. Построяване на хистограма на статистическия ред.
Статистическият ред може да сепредстави графично с помощта на хистограма. Тя се построява като по абсцисната ос се нанасят границите на избраните подинтервали, а по ординатната ос – правоъгълници с основи, равни на дължините на съответните подинтервали и с лица si, равни на изчислените честоти. Височините на правоъгълниците се пресмятат по формулата:
hi = рi */ xi+1 – xi
и
∑ si = 1, i = 1, 2, … k
Няма сходни статии.
